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Campo eléctrico de una esfera maciza uniformemente cargada

[Física clásica. Electricidad y magnetismo]
Por: Pilar Cristina Barrera Silva

Es interesante determinar el campo eléctrico de una esfera maciza aislante, uniformemente cargada, la esfera tiene radio R, con densidad de carga volumétrica medida en , la idea es determinar el campo eléctrico de esta geometría en dos regiones: dentro de la esfera en y por fuera de la esfera en .
Para resolver esta propuesta se aplica la ley de Gauss la cual se expresa:

La Ley se puede leer: La integral cerrada del producto escala entre el vector campo eléctrico y el vector de área de la superficie gaussiana es igual a la carga neta contenida en esa superficie gaussiana sobre una constante física llamada epsilon sub-cero . Vale la pena comentar que al ser una integral cerrada, se refiere a que la superficie gaussiana siempre va a contener un volumen.

Ilustración de la esfera maciza de radio R

En la ilustración de la esfera maciza, con los signos positivos mostrados, se quiere indicar que la carga positiva está distribuida de manera uniforme dentro de toda la esfera, esto se logra con materiales aislantes como bien puede ser el corcho, cerámica -entre otros-.
La Ley de Gauss es una de las cuatro ecuaciones de Maxwell, y es el recurso conceptual que nos permite determinar la magnitud del campo eléctrico en situaciones donde se tiene mucha simetría, como es el caso de esta geometría.
Veamos los resultados para el campo eléctrico en las dos regiones:
Dentro de la esfera en el valor del campo eléctrico es:

Notamos que en esta región el campo tiene un comportamiento no convencional, es lineal, sí se grafica es una linea recta. ¡Ups! ¡Nos han enseñado que el campo decrece con el inverso del cuadrado de la distancia!

Por fuera de la esfera en el valor del campo eléctrico es:

En esta región sí encontramos lo esperado, el campo disminuye con el inverso del cuadrado de la distancia r. ¡Ufff!
Una propuesta del gráfico de la magnitud del campo eléctrico como función de la distancia r para las dos regiones es el siguiente:

Gráfico de magnitud de campo eléctrico como función de la distancia radial r

Como habíamos comentado, por dentro de la esfera, el campo se incrementa de manera lineal, mientras que por fuera de la esfera el campo decrece con el inverso del cuadrado de la distancia. Cabe resaltar que la función es continua, ya que en r=R coinciden los resultados.

De otro lado, es común observar a estudiantes de ingeniería mostrando gran confusión en el momento de intentar resolver ejercicios de campo eléctrico a partir de la Ley de Gauss. Un requisito previo al curso de electricidad y magnetismo, es aprobar previamente la asignatura de cálculo integral, sin embargo en algunas instituciones universitarias de Bogotá, los chicos acceden a este curso y de manera simultánea deben estar tomando su curso de cálculo integral, o en casos mas dramáticos están cursando por segunda o tercera vez cálculo diferencial, esto genera graves problemas de aprendizaje ya que es muy complicado aprender un concepto sin tener las bases matemáticas claras, ó peor aún no tenerlas; y no olvidemos que en nuestros tiempos se nota poco estudio e interés por parte de los muchachos, de apropiarse del conocimiento.
La comprensión de la Ley de Gauss es uno de los derroteros de los docentes que desarrollan el curso de electricidad y magnetismo, ya que los jóvenes estudiantes lo ven como un concepto en extremo abstracto, que efectivamente lo es, pero ni modo, es parte de nuestra formación en Ciencias Básicas en algunas ingenierías.

En el siguiente enlace de Youtube les comparto el video en el cual podemos conocer el proceso en detalle para determinar el campo eléctrico de la esfera maciza.
https://youtu.be/WN_Lvgjtz6A

Encontramos el PDF de la solución del ejercicio en la pestaña problemas de física propuestos y resueltos en este blog, allí aparecen los correspondientes a electricidad y magnetismo en donde esta ubicado el archivo de Ley de Gauss. Vale comentar que los ejercicios resueltos, son una colección de problemas de texto interesantes, con soluciones explicadas en detalle.


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